Question

（2010•门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y＝−34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点

Answer 1

（1）由题意，得：

y＝x+1

y＝−

3

4x+3，

解得：

x＝

8

7

y＝

15

7，

∴点A的坐标为（

8

7，

15

7）．

（2）当△CBD为等腰三角形时，有以下三种情况，如图（1）．设动点D的坐标为（x，y）．

在y=x+1中，当y=0时，x+1=0，

∴x=-1，点B的坐标为（-1，0）．

在y=-

3x

4+3中，当y=0时，-

3

4x+3=0，

∴x=4，

点C的坐标为（4，0）．

∴BC=5．

①当BD₁=D₁C时，过点D₁作D₁M₁⊥x轴，垂足为点M₁，则BM₁=M₁C=

1

2BC．

∴BM₁=

5

2，OM₁=

5

2-1=

3

2，x=

3

2，

∴y=-

3

4×

3

2+3=

15

8，点D₁的坐标为（

3

2，

15

8）．

②当BC=BD₂时，过点D₂作D₂M₂⊥x轴，垂足为点M₂，则D₂M₂²+M₂B²=D₂B²．

∵M₂B=-x-1，D₂M₂=-

3

4x+3，D₂B=5，

∴（-x-1）²+（-

3

4x+3）²=5²，

解得：x₁=-

12

5，x₂=4（舍去）．此时，y=-

3

4×（-

12

5）+3=

24

5，

∴D₂的坐标为（-

12

5，

24

5），

③当CD₃=BC时，CB=5，CD₃=5，此时D₃坐标为（0，3），

当CD₄=BC时，BC=CD₄，=5，M₄D₄=OD₃=3，CO=CM₄=4，则D点坐标为（8，-3）．（6分）

由此可得点D的坐标分别为D₁（

3

2，

15

8），D₂（-

12

5，

24

5），D₃（0，3），D₄（8，-3）．

（3）存在．以点E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形有三种情形．（8分）