（1）在Rt△AOB中，∠ABO=30°，AB=2，
则OA=1，OB=
3 ，
∴点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（
3 ，0），
在Rt△ABC中，AB=2，∠ACB=30°，
则BC=ABcot∠ACB=2
3 ，
过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示：
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=2
3 ，
则BD=BCsin∠BCD=
3 ，CD=
3 BD=3，
故点C的坐标为（2
3 ，3）．
综上可得点A（0，1），点B（
3 ，0），点C（2
3 ，3）．
（2）设y=ax 2+bx+1，
将B（
3 ，0），C（2
3 ，3）代入可得：
3a+
3 b+1=0
12a+2
3 b+1=3 ，
解得：
a=
2
3
b=-
3 ，
故抛物线解析式为：y=
2
3 x 2-
3 x+1．
（3）①当点P与点C重合时，很明显△PAB的面积等于△ABC，此时点P的坐标为（2
3 ，3）．
②点P与点C不重合时，设直线AB解析式为y=kx+1，
将B（
3 ，0）代入可得：
3 k+1=0，
解得：k=-
3
3 ，
∴y=-
3
3 x+1，
过点C作直线AB的平行线，则与抛物线交点为点P的位置，
设直线CP的解析式为y=-
3
3 x+m，
将C（2
3 ，3）代入可得：3=-
3
3 ×2
3 +m，
解得：m=5，
∴直线CP的解析式为y=-
3
3 x+5，
联立抛物线与直线CP的解析式：
y=-
3
3 x+5
y=
2
3 x 2 -
3 x+1 ，
解得：
x 1 =2
3
y 1 =3 ，
x 2 =-
3
y 2 =6 ，
故此时点P的坐标为（-
3 ，6）．
综上可得点P的坐标为（2
3 ，3）或（-
3 ，6）．