解题思路：（1）由题可知，圆M的半径r=2，
P(
16
5
，
8
5
)
，∠MAP=90°，根据MP=2r，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB的大小；
（2）设P的坐标，求出经过A、P、M三点的圆的方程即可得到圆过定点．
（1）由题可知，圆M的半径r=2，P(
16
5，
8
5)，
因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP=90°
又因MP=
(0−
16
5)2+(4−
8
5)2＝4=2r，
又∠MPA=30°，∠APB=60°； （6分）
（2）设P（2b，b），因为∠MAP=90°，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，方程为：(x−b)2+(y−
b+4
2)2＝
4b2+(b−4)2
4，
即（2x+y-4）b-（x2+y2-4y）=0
由
2x+y−4＝0
x2+y2−4y＝0，解得
x＝0
y＝4或
x＝
8
5
y＝
4
5，
所以圆过定点(0，4)，(
8
5，
4
5)（6分）
点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．
考点点评： 本题考查直线与圆的综合，考查圆过定点，考查两圆位置关系，确定圆的方程是关键．