解题思路：（1）根据函数H（x）=f（x）-g（x）=3x2 -2ax+a-1 的判别式△＞0，可得二次函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点．
（2）由题意可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．根据函数y=|g（x）|=|2ax+1|，分①当a=0时、②当a＞0时、③当a≤-12三种
情况，分别研究函数的单调性．
（1）证明：∵函数H（x）=f（x）-g（x）=3x2 -2ax+a-1 的判别式△=4a2-12a+12=4[(x−
3
2)2+[3/4]]＞0，
∴函数H（x）=f（x）-g（x）恒有两个不同的零点．
（2）若函数f（x）在（0，2）上无零点，结合f（x）在（0，2）上单调递增，
可得f（0）=a≥0，或 f（2）=12+a≤0，解得a≥0，或 a≤-12．
∵函数y=|g（x）|=|2ax+1|，
①故当a=0时，|g（x）|=1 在（0，2）上没有单调性．
②当a＞0时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-[1/2a]＜0，函数y=|g（x）|在（0，2）上单调递增．
③当a≤-12时，函数y=|g（x）|=|2ax+1|的零点为x=-[1/2a]∈（0，[1/24]]，函数y=|g（x）|在（0，-[1/2a]）上单调递减，在（-[1/2a]，2）上是增函数．
点评：
本题考点： 函数的零点与方程根的关系；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的判断和证明，带由绝对值的函数，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．