(1)当x<1时,f(x)=-x3+x2+bx+c,∴f′(x)=-3x2+2x+b
∵函数在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5,∴f′(-1)=-5
∴-3-2+b=-5,∴b=0
∵f(0)=0,∴c=0
∴b=0,c=0
(2)当x<1时,f(x)=-x3+x2,∴f′(x)=-3x2+2x
令f′(x)=0有-3x2+2x=0,∴x=0或x=
2
3
令f′(x)>0,可得0<x<
2
3;令f′(x)<0,∵-1≤x≤1,∴-1≤x<0或
2
3<x≤1
∴函数在-1,0,
2
3,1出取得最值
∵f(-1)=2,f(0)=0,f(
2
3)=
4
27,f(1)=0
∴函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为0;
(3)设P(x1,f(x1)),因为PQ中点在y轴上,所以Q(-x1,f(-x1)),
∵OP⊥OQ,∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1
①当x1=1时,f(x1)=0;当x1=-1时,f(-x1)=0,∴
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1≠-1;
②当-1<x1<1时,f(x1)=−x13+x12,f(-x1)=x13+x12,代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1,可得(−x13+x12)(x13+x12)=x12,∴x14−x13+1=0,无解;
③当x1>1时,f(x1)=alnx1,f(-x1)=x13+x12,代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1,可得
1
a=(x1+1)lnx1;
设g(x1)=(x1+1)lnx1(x1>1),∴g′(x1)=lnx1+
x1+1
x1>0,∴g(x1)是增函数
∵g(1)=0,∴g(x1)值域是(0,+∞)
∴对任意给定的正实数a,
1
a=(x1+1)lnx1恒有解,满足条件
④由P,Q横坐标的对称性可得,当x1<-1时,f(x1)=−x13+x12,f(-x1)=aln(-x1),
代入
f(x1)
x1•
f(−x1)
−x1=-1,可得
1
a=(−x1+1)ln(−x1)
设h(x1)=(-x1+1)ln(-x1)(x1<-1),∴h′(x1)=-ln(-x1)-
x1−1
x1<0,∴h(x1)是减函数
∵h(-1)=0,∴h(x1)值域是(0,+∞)
∴对任意给定的正实数a,
1
a=(−x1+1)ln(−x1)恒有解,满足条件
综上所述,满足条件的点P的横坐标的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).