二次函数
I.定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
则称y为x的二次函数.
二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h,k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
III.二次函数的图象
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,
可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
x = -b/2a.
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ].
当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上.
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
|a|越大,则抛物线的开口越小.
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
抛物线与y轴交于（0,c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
Δ= b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.
V.二次函数与一元二次方程
特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
即ax²+bx+c=0
此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.
二次函数的定义
1.一块半径是20cm的圆形板,在它的中心挖去一个半径为Xcm的圆,
剩下的圆环面积是Ycm2,y与x之间又怎样的函数关系?
Y=πR2-πr2
=π·202-πx2
=400π-πx2__________①
2.石块从40米的高处自由落下,知道计算高度的公式是
40-9.8t2/2,这里h时所求的高度（米）,t是所经过
时间（秒）,h与t之间又怎样的函数关系?
h=40-4.9t2__________②
3.某电视机厂第一个月产量是4000台,第三个月的产量y(台)
与月平均增长率x之间又怎样的函数关系式?
第一个月：4000台
第二个月：4000×(1+x)
第三个月：4000×(1+x)2
即：y=4000×(1+x)2
=4000×x2+8000x+4000__________③
小结：
这三个函数关系式都是用自变量的二次式表示的
定义：
一般地,函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)
函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系,我们已学过正比例函数,反比例函数和一次函数.看下面两个例子中两个变量之间存在怎样的关系.（电脑演示）
例1、正方形的边长是 x cm ,面积ycm2与边长x 之间的函数关系如何表示?y= x2
例2、农机厂第一个月水泵的产量为50（台）第三个月的产量 y(台) 与月平均增长率x 之间的函数关系式如何表示?
函数关系式是y=50(1+x)2 即y=50x2+100x+50
由以上两例,启发学生归纳出（1）函数解析式均为整式.（2）自变量的最高次数是2.
三、 讲解新课
以上函数不同于我们所学过的正比例函数,我们就把这种函数称为二次函数.
（板演）
二次函数的定义：形如y=a x2 +bx+c (a不为0) 的函数叫做二次函数.
巩固对二次函数概念的理
1、 强调“形如”,即由形来定义函数名称.二次函数即y 是关于x的二次多项式.
2、 在 y=a x2 +bx+c 中自变量是 x ,它的取值范围是一切实数.但在实际问题中,自变量的取值范围是使实际问题有意义的值.
3、 为什么二次函数定义中要求a不为0
4、 b和c 是否可以为零?由例1可知,b 和c 均可为零.
若 b=0 则y=a x2 +c
若 c=0 则y=a x2 +bx
若 b=c=0 则y=a x2
以上三种形式都是二次函数的特殊形式,而y=a x2 +bx+c 是二次函数的一般形式.
四、 巩固新课
例1、 设圆柱的高 h 是常量,写出圆柱的体积v 与底面周长c之间的函数关系式.
分析：V=底面积 ×高.底面积=nr2 ,而 r 与周长c 的关系是c=2 nr,则r= .
函数解析式是
整理得
请同学指出自变量是 c ,取值范围 c大于0
例3 篱笆墙长 30cm ,靠墙围成一个矩形花坛,写出花坛面积y 与长 x 之间的函数关系式,并指出自变量的取值范围.
花坛长为x,,则宽为
解析式为
整理得y=15x-
请同学指出a=- ,b=15,c=0
例4 已知二次函数y=a x2 +bx+c ,当x=0 时,y=0,x=1 时,y=2 ,x= -1 时y=1 ,求a,b,c ,并写出函数解析式.
由已知条件得0=a.o+b.0+c
2=a .1+b.1+c
1=a(-1)2+b (-1)+c
解此方程组求出a,b,c的值