解题思路:(1)证△BEM∽△CMF,推出[BE/CM]=[BM/CF],代入求出xy=4即可;
(2)根据勾股定理求出x+y=EF,代入即可求出答案;
(3)分为两种情况:①F在线段CD上时,求出y=3,x=[4/3],EF=x+y═[13/3],过A作AN⊥EF于N,根据面积公式求出即可;
①当F在CD的延长线上时,求出y=5,x=[4/5],EF=x+y=[29/5],过A作AN⊥EF于N,根据面积公式求出即可.
(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=90°,
∵EM⊥FM,
∴∠EMF=90°,
∴∠BEM+∠BME=90°,∠BME+∠CMF=90°,
∴∠BEM=∠FMC,
∴△BEM∽△CMF,
∴[BE/CM]=[BM/CF],
∵BM=CM=[1/2]BC=[1/2]×4=2,BE=e,CF=y,
∴xy=4
x的取值范围是0<x≤4;
(2)不变,
理由是:∵根据勾股定理得:EM2=BE2+BM2=x2+22=x2+4,FM2=y2+4,
∴EF2=EM2+FM2=x2+4+y2+4=x2+y2+8,
∵xy=4,
∴EF2=(x+y)2,
∴EF=x+y,
∴四边形AEFD的周长是AE+EF+DF+AD=4-x+x+y+4-y+4=12.
(3)分为两种情况:①F在线段CD上时,如图备用图,
∵DC=AB=AD=4,DF=1,
∴y=4-1=3,x=[4/y]=[4/3],EF=x+y=3+[4/3]=[13/3],
过A作AN⊥EF于N,
则S△AEF=S梯形AEFD-S△ADF=[1/2](3+4-[4/3])×4-[1/2]×4×1=[1/2]EF×AN,
∴AN=[8/3];
②当F在CD的延长线上时,如图,
∵DC=AB=AD=4,DF=1,
∴y=4+1=5,x=[4/5],EF=x+y=[29/5],
过A作AN⊥EF于N,
则S△AEF=S正方形ABCD+S△ADF-S梯形BEFC=4×4+[1/2]×4×1-[1/2]×([4/5]+5)×4=[1/2]EF×AN,
∴AN=[29/64].
点评:
本题考点: 相似三角形的判定与性质;正方形的性质.
考点点评: 本题考查了三角形面积、梯形面积、正方形面积,正方形性质,相似三角形的性质和判定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.