Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=[1/2]AA1，D是棱AA1的中点．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）证明DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，利用线面垂直的判定定理，即可证明C₁D⊥平面BDC；

（Ⅱ）利用V_C-BC1D=V_B-CC1D，求几何体C-BC₁D的体积．

（Ⅰ）证明：由题设知BC⊥CC₁，BC⊥AC，CC₁∩AC=C，

∴BC⊥平面ACC₁A₁，又DC₁⊂平面ACC₁A₁，

∴DC₁⊥BC．

由题设知∠A₁DC₁=∠ADC=45°，

∴∠CDC₁=90°，即DC₁⊥DC，

又DC∩BC=C，

∴C₁D⊥平面BDC；（6分）

（2）∵ACB=90°，AC=BC=[1/2]AA₁，D是棱AA₁的中点，AA₁=2，

∴V_C-BC1D=V_B-CC1D=[1/3]•[1/2]•2•1•1=[1/3]．（12分）

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查直线与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析表达与运算能力，属于中档题．