Question

（2009•杭州一模）数列{an} 中，a1=2，an+1=an+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）先利用递推关系式求出a₁，a₂，a₃关于c的表达式，再结合a₁，a₂，a₃成等比数列即可求c的值；

（Ⅱ）先利用递推关系式求出a_n-a_n-1=（n-1）c，再利用叠加法得

a

n

−

a

1

＝[1+2++(n−1)]c＝

n(n−1)

2

c

；把（Ⅰ）的结论代入整理后即可求得{a_n} 的通项公式；

（Ⅲ）把前两问的结论相结合求出数列

{

a

n

−c

n

}

的表达式，再利用等差数列的定义证明即可．

（Ⅰ）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因为a₁，a₂，a₃成等比数列，

所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0（舍）或c=2．

故c=2；（5分）

（II）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，

所以an−a1＝[1+2++(n−1)]c＝

n(n−1)

2c．

又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．

当n=1时，上式也成立，

所以a_n=n²-n+2（n=1，2，）；（5分）

（Ⅲ）bn＝

an−c

n＝n−1；b_n+1=n．b_n+1-b_n=1，

∴数列{

an−c

n}是等差数列．（5分）

点评：

本题考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．

考点点评： 本题主要考查数列递推式以及等差关系的确定问题．是对等差数列和等比数列知识的综合考查，属于中档题目．解决第二问的关键在于求数列通项中叠加法的应用．