解题思路：求出EF=BE=CE，推出∠EFC=∠ECF，推出∠EFG=∠ECG，相减即可；求出EF=BE=CE，推出∠EFC=∠ECF，推出∠EFG=∠ECG，相减，求出FG=CG，即可得出三角形AGD的周长等于AD+DC+AF，代入求出即可．
探究：GF=GC，
理由是：连接CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠ECG=90°，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴∠B=∠AFE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠GFE=180°，
∴∠C=∠GFE，
∵∠EFC=∠ECF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴GF=GC．
拓展：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3=AF，
∵AD=4，
∴△AGD的周长是AD+DG+AF=4+DG+AF+FG=4+DG+CG+AF=4+3+3=10．
故答案为：10．
点评：
本题考点： 四边形综合题．
考点点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的性质，等于三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生的推理和计算能力，题目比较好，综合性比较强．