Question

已知f（x）=loga[1+x/1−x]（a＞0，a≠1），

Answer 1

解题思路：（1）由[1+x/1−x]＞0，求得-1＜x＜1，由此求得函数的定义域．

（2）由于f（-x）=log_a[1−x/1+x]=-log_a[1+x/1−x]=-f（x），可得f（x）为奇函数．

（3）设g（x）=[1+x/1−x]，则f（x）=log_af（x），先由函数的单调性的定义证明g（x）在x∈（-1，1）为递增函数，再根据复合函数的单调性规律求得f（x）的单调性．

（1）∵[1+x/1−x]＞0，∴-1＜x＜1，故定义域为（-1，1）．…（3分）

（2）∵f（-x）=log_a[1−x/1+x]=log_a（[1+x/1−x]_）^-1=-log_a[1+x/1−x]=-f（x），

∴f（x）为奇函数．…（6分）

（3）设g（x）=[1+x/1−x]，则f（x）=log_af（x），取-1＜x₁＜x₂＜1，则

g（x₁）-g（x₂）=

1+x1

1−x1-

1+x2

1−x2=

2(x1−x2)

(1−x1)(1−x2)＜0

∴g（x）在x∈（-1，1）为递增函数，…（8分）

∴a＞1时，f（x）为递增函数，0＜a＜1时，f（x）为递减函数…（10分）

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查对数函数的图象、性质的应用，函数的奇偶性、单调性的判断和证明，属于中档题．