Question

若非零函数f（x）对任意实数a，b均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1．

Answer 1

解题思路：（1）f（x）=f（[x/2]+[x/2]）=f²（[x/2]），结合函数f（x）为非零函数可得；

（2）利用函数的单调性的定义证明；

（3）由f（4）=[1/16]可得f（2）=[1/4]，从而化简不等式f（x-3）•f（5）≤[1/4]为f（x-3+5）≤f（2），从而利用单调性求解．

（1）证明：f（x）=f（[x/2]+[x/2]）=f²（[x/2]）＞0，

（2）证明：∵f（0）=f²（0），∴f（0）=1；

∴f（b-b）=f（b）•f（-b）=1；

∴f（-b）=[1

f(b)；

任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，

∴

f(x1)

f(x2)=f（x₁-x₂）＞1，

又∵f（x）＞0恒成立，

∴f（x₁）＞f（x₂）；

则f（x）为减函数；

（3）由f（4）=f²（2）=

1/16]，则f（2）=[1/4]，

原不等式转化为f（x-3+5）≤f（2），

结合（2）得：x+2≥2，

∴x≥0；

故不等式的解集为{x|x≥0}．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查了函数单调性的证明与应用，属于中档题．