Question

已知直线x+2y+m=0（m∈R）与抛物线C：y2=x相交于不同的两点A，B．

Answer 1

解题思路：（1）联立直线x+2y+m=0（m∈R）和抛物线C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，由判别式△=4-4m＞0，知实数m的取值范围{m|m＜1}．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀） 由题意知

k

pA

＝

y

1

−

y

0

x

1

−

x

0

，

k

PB

＝

y

2

−

y

0

x

2

−

x

0

，

y

1

−

y

0

x

1

−

x

0

+

y

2

−

y

0

x

2

−

x

0

＝0

，由此可知存在P（1，1），使得对（1）中任意的m的值，都有直线PA与PB的斜率互为相反数．

（1）联立直线x+2y+m=0（m∈R）和抛物线C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，

∵直线x+2y+m=0（m∈R）与抛物线C：y²=x相交于不同的两点A，B．

∴判别式△=4-4m＞0，∴m＜1，即实数m的取值范围{m|m＜1}．

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）

kpA＝

y1−y0

x1−x0，

kPB＝

y2−y0

x2−x0

y1−y0

x1−x0+

y2−y0

x2−x0＝0，

∴y₁²=x₁，y₂²=x₂，y₀²=x₀

1

y1+y0+

1

y2+y0=0，∴-2y₀=y₁+y₂

由（1）得：y₀=1

y₀=x₀=1

所以存在P（1，1），使得对（1）中任意的m的值，都有直线PA与PB的斜率互为相反数．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．