Question

关于X的方程X^2+ZX+1+2i=0有实数根,求复数Z的模的最小值

Answer 1

设z=a+bi,a,b都是实数,那么原来的方程就等价于下面两个方程

X^2+aX+1=0,bX+2=0;

于是有

a=-x-1/x,b=-2/x,

而a^2+b^2=x^2+2+5/x^2>=2+2*5^(1/2)

上述等号在x=5^(1/4)时成立,

此时a^2+b^2为最小,

因此|z|最小为(2+2*5^(1/2))^(1/2).