解题思路：由题意，可设该圆柱的底面半径为r，母线为h依题意有2r+h=3，把侧面面积用底面圆半径r表示出来，即建立起侧面面积关于底面圆半径的函数，利用函数的相关知识求最值即可．
设圆柱的底面半径为r，高为h，则依题意有2r+h=3，且0＜r＜[3/2]．
故其侧面积S=2πrh=2πr（3-2r）=4πr（[3/2]-r）≤4π×(
r+
3
2−r
2)2=[9/4π，
当且仅当r=
3
4]时，取等号．
所以圆柱的侧面积的最大值等于
9
4π．
故答案为：
9
4π．
点评：
本题考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
考点点评： 本题考点是求旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的面积、体积，考查相关的公式求表面积与体积，本题属于中档题．