Question

经过点（3，1）被圆C：x2+y2-2x-4y-20=0截得的弦最短的直线的方程是（　　）

Answer 1

解题思路：根据圆的性质可得

d

2

＝

r

2

−

(

l

2

)

2

（l为直线被圆截得的弦长），若使经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，则只要圆心C到直线的距离d最大，而d≤PC，当直线l与PC垂直时，d_max=PC，从而可求直线方程

由题意可得圆心为C（1，2），半径r=5

根据圆的性质可得d2＝r2−(

l

2)2（l为直线被圆截得的弦长）

若使经过点（3，1）被圆C：x²+y²-2x-4y-20=0截得的弦最短，则只要圆心C到直线的距离d最大

根据题意可得，d≤PC，当直线l与PC垂直时，d_max=PC=

(3−1)2+(2−1)2=

5

此时所求直线的斜率为k＝−

1

kPC=2

∴所求的直线的方程为y-1=2（x-3）整理可得2x-y-5=0

故选D

点评：

本题考点： 直线与圆的位置关系．

考点点评： 本题主要考查了直线与圆的相交位置关系的应用，解题的关键 是灵活利用圆性质d2＝r2−(l2)2（l为直线被圆截得的弦长），把所求弦的最小转化为圆心到直线的距离的最大值