小题1:DE与⊙O相切.……………………………………1分
证明：连接OD，BD。………………………………2分
∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E是BC的中点，∴DE=BE=CE. ∴∠EBD=∠EDB.
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB.
∴∠EDO=∠EBO=90°. ∴DE与⊙O相切.………………4分
小题2:∵OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE……………5分
∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分
∴
=
.即BC 2=CD·AC.
∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分
小题3:
（3）∵tanC=
，∴可设BD=
，CD=2x.…………8分
在Rt△BCD中，
.解之，得x=±
(负值舍去)
∴BD=
=
……………………………………9分
∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD=
BD=
.………………………………10分