Question

等差数列{an}中，a1＞0，且3a8=5a13，则{Sn}中最大项为______．

Answer 1

解题思路：设等差数列的公差为d，根据等差数列的性质得出a₈与a₁₃的关系，再由已知的3a₈=5a₁₃，联立用d表示出a₈，利用等差数列的通项公式化简后，用d表示出a₁，利用等差数列的求和公式表示出S_n，将表示出的a₁代入，整理后，得到等差数列的S_n为关于n的二次函数，根据a₁大于0，得到d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S_n的最大值，即为{S_n}中的最大项．

根据等差数列的性质得：a₁₃=a₈+5d①（d为公差），

又3a₈=5a₁₃，即a₁₃=[3/5]a₈②，

把②代入①得：a₈=-12.5d，

又a₈=a₁+7d，

∴a₁+7d=-12.5d，

∴a₁=-19.5d，

由等差数列的求和公式得：S_n=na₁+

n(n−1)

2d，

将a₁=-19.5d代入整理得：S_n=0.5dn²-20dn，

∵a₁＞0，∴d＜0，

∴等差数列的S_n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，

∴当n=-[−20d/2×0.5d]=20时，S_n最大，最大值为S₂₀，

则{S_n}中最大项为S₂₀．

故答案为：S₂₀

点评：
本题考点： 等差数列的性质．

考点点评： 本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，是一个最大值的问题，结合二次函数的性质来解题，通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．