（1）∵f（x）=ln（x+1）-ax（a∈R），a=1，
∴ f ′ (x)=
1
1+x -1=
-x
1+x ，
由 f ′ (x)=
-x
1+x ＞0，得-1＜x＜0；由 f ′ (x)=
-x
1+x ＜0，得x＞0；
所以y=f（x）在（-1，0）为增，在（0，+∞）为减，
所以x=0时，f（x）取最大值0．
（2）y=f（x）在x∈[1，+∞）上恒有f（x）＜0，
等价于 a＞
ln(x+1)
x 恒成立，
设 g(x)=
ln(x+1)
x ⇒ g ′ (x)=
x
1+x -ln(x+1)
x 2 ，
设 h(x)=
x
1+x -ln(x+1)⇒ h ′ (x)=
1
(1+x) 2 -
1
1+x =
-x
(1+x) 2 ＜0(x≥1) ，
所以h（x）是减函数，所以 h(x)≤h(1)=
1
2 -ln2＜0(4＞e⇒2＞ e
1
2 ) ，
所以g（x）是减函数，g max（x）=g（1），所以a＞ln2
（3）要证
1 2 +1+1
1 2 +1 •
2 2 +2+1
2 2 +2 •
3 2 +3+1
3 2 +3 •…•
n 2 +n+1
n 2 +n ＜e ，
只需证 ln
1 2 +1+1
1 2 +1 +ln
2 2 +2+1
2 2 +2 +…+ln
n 2 +n+1
n 2 +2 ＜1
只需证 ln(1+
1
1 2 +1 )+ln(1+
1
2 2 +2 )+…+ln(1+
1
n 2 +n )＜1
因为 ln(1+
1
n 2 +n )＜
1
n 2 +n =
1
n -
1
n+1 ，
所以 ln(1+
1
1 2 +1 )+ln(1+
1
2 2 +2 )+…+ln(1+
1
n 2 +n )＜1-
1
n+1 ＜1 ．
故
1 2 +1+1
1 2 +1 •
2 2 +2+1
2 2 +2 •
3 2 +3+1
3 2 +3 •…•
n 2 +n+1
n 2 +n ＜e ．