解题思路：（1）由m=1可得函数的解析式，计算可得f（2）的值，即可得点（2，f（2））的坐标，对f（x）求导，将x=2代入可得f′（2）的值，即可得该切线的斜率；由直线的点斜式方程，代入数据可得答案．
（Ⅱ）对f（x）求导可得f′（2），解f′（x）=0与f′（x）≥0，可得函数f（x）的单调增区间，根据题意，分析可得m+1≤-3m或2m-1≥m，解可得①式；由区间的定义可得m+1＞2m-1，解可得②式；由题意有m＞0，③式；综合三个式子，可得答案．
（Ⅰ）当m=1时，f（x）=[1/3]x3+x2-3x+1，f（2）=[8/3]+4-6+1=[5/3]；
f′（x）=x2+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，
所以所求切线方程为y-[5/3]=5（x-2），即15x-3y-25=0；
（Ⅱ）对于f（x）=[1/3]x3+mx2-3m2x+1，
f′（x）=x2+2mx-3m2，
令f′（x）=x2+2mx-3m2=0，解可得x=-3m或x=m；
由于m＞0，则m＞-3m，
若f′（x）=x2+2mx-3m2≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；
所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），
要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，
应有m+1≤-3m或2m-1≥m，
解得m≤[1/4]或m≥1，①
对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②
又由m＞0，③
综合三式可得1≤m＜2，
即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查利用导数求切线方程与判断函数的单调区间，解（Ⅱ）时，不要遗漏对区间（2m-1，m+1）分析．