先提醒大家过去曾经有过的一个经验.
如果整数a除以整数b所得余数是1,那么,整数a的2倍、3倍、4倍、……、（b-1）倍除以整数b所得的余数就分别是
1×2=2,
1×3=3,
1×4=4,
…………
1×（b-1）=b-1.
例如,15÷7=2……余1,即
2×15÷7=4……余2,
3×15÷7=6……余3,
4×15÷7=8……余4,
5×15÷7=10……余5,
6×15÷7=12……余6.
还请大家注意一条经验.
从某数a中连续减去若干个b后,求所得的要求小于数b的差数,实际上就是求数a除以数b所得的余数.
例如,从758里连续减去若干个105后,求所得的要求小于105的差数,实际上就是求758除以105所得的余数.即
758÷105=7……余23.
下面我们就来研究“孙子问题”.
在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”意思是,“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合这个条件的最小数.”这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法,国际上称为“中国剩余定理”.
实际上,上面的问题我们可以这样来想：
分别写出除数3、5、7的两两公倍数.如下表：
我们在第一组数中选出合乎“除以7余2”的较小数——30；
在第二组数中选出合乎“除以5余3”的较小数——63；
在第三组数中选出合乎“除以3余2”的较小数——35.
根据和的整除性,可知30+63+35=128一定是一个同时合乎“被3除余2,被5除余3,被7除余2”的数（为什么?）,但是不一定是最小的.要得到合乎条件的最小数,只要从中减去3、5、7的最小公倍数的若干倍,使得差数小于这个最小公倍数就是了.
3、5、7的最小公倍数是3×5×7=105,因此,由于前面的经验二,可知
128÷105=1……余23.
这个余数23就是要求的合乎条件的最小数.
有意义的是,虽然孙老先生的解法也是从对上表的思索得到的,但他的解法更具有一般性.亲爱的读者,你能猜想到孙子的一般解法吗?
【规律】
一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求适合这个条件的最小数.孙子的解法是：
先从3和5、3和7、5和7的公倍数中相应地找出分别被7、5、3除均余1的较小数15、21、70.即
15÷7=2……余1,
21÷5=4……余1,
70÷3=23……余1.
再用找到的三个较小数分别乘以被7、5、3除所得的余数的积连加,
15×2+21×3+70×2=233.
最后用和233除以3、5、7三个除数的最小公倍数.
233÷105=2……余23,
这个余数23就是合乎条件的最小数.
以上三个步骤适合于解类似“孙子问题”的所有问题.
【练习】
1.韩信点兵：有兵一队,若列成五行纵队,则末行一人,成六行纵队,则末行五人,成七行纵队,则末行四人,成十一行纵队,则末行十人.求兵数.
2.有一堆棋子,三个三个地数剩下2个,五个五个地数剩下4个,七个七个地数剩下6个.问这堆棋子最少有多少个?（用两种方法解）
3.某数除以7余3,除以8余4,除以9余5.从小到大求出适合条件的十个数.
4.某数除以5余2,除以7余4,除以11余8.求适合条件的最小数.
5.一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个,三个三个地数剩下1个,五个五个地数剩下3个,七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个?