解题思路:设EF和AD的交点为G,先求得CN,NE的长,再根据两组相似三角形:△NCE∽△EDG∽△MFG,利用成比例线段即可求解.
已知
CE
CD=
1
n(n为整数),且CD=2,则CE=
2
n,DE=
2n−2
n;
设AM=a,BN=b;
在Rt△NCE中,NE=BN=b,NC=2-b,由勾股定理得:
NE2=NC2+CE2,即b2=(2-b)2+(
2
n)2;
解得:b=
n2+1
n2,BN=NE=
n2+1
n2,NC=2-b=
n2−1
n2;
由于∠NEF=90°,∠C=∠D,
∴∠GED+∠NEC=90°,∠GED+∠DGE=90°,
∴∠NEC=∠DGE,
易证得△NEC∽△EDG,
∴
EN
EG=
NC
DE,即
n2−1
n2
2(n−1)
n=
n2+1
n2
EG;
解得:EG=
2n2+2
n2+n,FG=EF-EG=2-
2n2+2
n2+n=
2n−2
n2+n,
∵∠FGM=∠DGE=∠NEC,且∠F=∠C=90°,
∴△MFG∽△NCE,得:
MF
CN=
FG
CE;
即:
MF
n2−1
n2=
2n−2
n2+n
2
n,解得:MF=
(n−1)2
n2;
∴
AM
BN=
MF
NE=
(n−1)2
n2
n2+1
n2=
(n−1)2
n2+1;
当n=2时,
AM
BN=
1
5;
故答案为:
1
5,
(n−1)2
n2+1.
点评:
本题考点: 翻折变换(折叠问题).
考点点评: 本题考查图形的翻折变换,相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合应用,由于计算量较大,需要细心求解.