如图,将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN.设AB=2,当CECD

1个回答

  • 解题思路:设EF和AD的交点为G,先求得CN,NE的长,再根据两组相似三角形:△NCE∽△EDG∽△MFG,利用成比例线段即可求解.

    已知

    CE

    CD=

    1

    n(n为整数),且CD=2,则CE=

    2

    n,DE=

    2n−2

    n;

    设AM=a,BN=b;

    在Rt△NCE中,NE=BN=b,NC=2-b,由勾股定理得:

    NE2=NC2+CE2,即b2=(2-b)2+(

    2

    n)2

    解得:b=

    n2+1

    n2,BN=NE=

    n2+1

    n2,NC=2-b=

    n2−1

    n2;

    由于∠NEF=90°,∠C=∠D,

    ∴∠GED+∠NEC=90°,∠GED+∠DGE=90°,

    ∴∠NEC=∠DGE,

    易证得△NEC∽△EDG,

    EN

    EG=

    NC

    DE,即

    n2−1

    n2

    2(n−1)

    n=

    n2+1

    n2

    EG;

    解得:EG=

    2n2+2

    n2+n,FG=EF-EG=2-

    2n2+2

    n2+n=

    2n−2

    n2+n,

    ∵∠FGM=∠DGE=∠NEC,且∠F=∠C=90°,

    ∴△MFG∽△NCE,得:

    MF

    CN=

    FG

    CE;

    即:

    MF

    n2−1

    n2=

    2n−2

    n2+n

    2

    n,解得:MF=

    (n−1)2

    n2;

    AM

    BN=

    MF

    NE=

    (n−1)2

    n2

    n2+1

    n2=

    (n−1)2

    n2+1;

    当n=2时,

    AM

    BN=

    1

    5;

    故答案为:

    1

    5,

    (n−1)2

    n2+1.

    点评:

    本题考点: 翻折变换(折叠问题).

    考点点评: 本题考查图形的翻折变换,相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合应用,由于计算量较大,需要细心求解.