Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=nan-2n（n-1），a1=1，数列{bn}的前n项和为Tn，其中bn=1

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）利用公式a_n+1=S_n+1-S_n，求得通项公式；

（Ⅱ）利用裂项相消法求得数列的和，得出其最小值，则对于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-[9/5]等价于（T_n）_min≥m²-m-[9/5]，即可得出结论．

（I）由S_n=na_n-2n（n-1），

得a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）a_n+1-na_n-4n，即a_n+1-a_n=4，---------------------------（4分）

∴数列{a_n}是首项为1，公差为4的等差数列，-----------------------------------（5分）

∴a_n=4n-3；-----------------------------------------------------（6分）

（II）∵b_n=

1

a nan+1=[1

(4n−3)(4n+1)=

1/4]（[1/4n−3]-[1/4n+1]），

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=[1/4]（1-[1/5]+[1/5]-[1/9]+…+[1/4n−3]-[1/4n+1]）=[1/4]（1-[1/4n+1]），

又易知单调递增，故T_n≥T₁=[1/5]，-----------------（10分）

又对于任意对于任意n∈N^*，T_n≥m²-m-[9/5]，

∴m²-m-[9/5]≤[1/5]，------------------（11分）

∴m²-m-2≤0，∴-1≤m≤2．-------------------------------------------（12分）

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查数列通项公式的求法及利用裂项法求数列和，考查恒成立问题的等价转化思想及学生的运算求解能力，属难题．