Question

直线与圆锥曲线,若抛物线y=ax^2-1上总存在关于直线x+y=0对称的俩点,则实数a的取值范围为这道题老师说有个巧方法

Answer 1

【注：∵直线x+y=0是一条特殊直线,∴有一个结论：若两点P,Q关于直线x+y=0对称,则两点的坐标必是P(m,n),Q(-n,-m).】由题设,可设两点P(m,n),Q(-n,-m),(m≠n)是抛物线y=ax²-1上的点,且关于直线x+y=0对称.∴n=am²-1,且-m=an²-1.两式相减可得m+n=a(m+n)(m-n).===>a(m-n)=0.将n=am²-1代入可得a[m-(am²-1)]=1.===>a²m²-am+1-a=0.∵这个关于m的一元二次方程有解,∴⊿=a²-4a²(1-a)≥0.===>a²(4a-3)≥0.∵a≠0.∴4a-3≥0.===>a≥3/4.