解题思路：（1）证△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根据等腰三角形性质推出∠E=∠ABF，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，连接AM，证△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等边三角形，推出MF=AF，即可得出答案；
（3）连接CF，延长BA、CF交N，证△BFC≌△BFN，推出CN=2CF=2EF，证△BAD≌△CAN，推出BD=CN，即可得出答案．
证明：（1）∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，
AE＝AC
∠EAF＝∠CAF
AF＝AF，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF．
（2）连接CF，
∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在FB上截取BM=CF，连接AM，
在△ABM和△ACF中，
AB＝AC
∠ABM＝∠ACF
BM＝CF，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF为等边三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
即AF+EF=FB．
（3）连接CF，延长BA、CF交N，
∵∠ABC=45°，BD平分∠ABC，AB=AC，
∴∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°，∠BAC=180°-45°-45°=90°，
∴∠ACF=∠ABF=22.5°，
∴∠BFC=180°-22.5°-45°-22.5°=90°，
∴∠BFN=∠BFC=90°，
在△BFN和△BFC中
∠NBF＝∠CBF
BF＝BF
∠BFN＝∠BFC
∴△BFN≌△BFC（ASA），
∴CF=FN，
即CN=2CF=2EF，
∵∠BAC=90°，
∴∠NAC=∠BAD=90°，
在△BAD和△CAN中
点评：
本题考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．