解题思路：根据已知条件得到关于a，b，c的方程组，用a表示b和c，根据与x轴有两个不同的交点，求得a的取值范围，再进一步分析b+c的最大值．
由于二次函数的图象过点A（-1，4），点B（2，1），
所以
a−b+c＝4
4a+2b+c＝1，
解得
b＝−a−1
c＝3−2a.
因为二次函数图象与x轴有两个不同的交点，
所以△=b2-4ac＞0，
（-a-1）2-4a（3-2a）＞0，即（9a-1）（a-1）＞0，
由于a是正整数，故a≥2，
又因为b+c=-3a+2≤-4，
故b+c的最大值为-4．
故答案为-4．
点评：
本题考点： 抛物线与x轴的交点．
考点点评： 在已知两个三元一次方程的时候，要善于用一个字母表示其它的字母，根据其中一个字母的取值范围来确定要求的代数式的取值范围．