Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形,角ABC=60°,点M是PC中点,N是PB中点,PA⊥面ABCD,AC,BD交

Answer 1

不用坐标更简单.

连结OM,MD

∵PA⊥面ABCD

∴DO⊥PA

菱形ABCD中,DO⊥AC

∴DO⊥面PAC

∴∠DMO即是DM与平面PAC所成的角

tan∠DMO=OD/OM=2

菱形ABCD中易知OD=√3

∴OM=√3 /2

又M是PC中点,O是AC中点

即OM是△PAC的中位线

∴PA=2OM= √3

坐标法思路如下：

O为坐标原点,OB、OC、OM分别为x轴、y轴、z轴

（要先简单说明它们两两垂直）

易知面PAC的一个法向量为OB=(√3,0,0)

D(-√3,0,0) 设M(0,0,t) DM=(√3,0,t) (t>0)

cos = 3/ [√3 *√(3+t^2)] =√3 /√(3+t^2)

设DM与平面PAC所成角为α

则sinα = √3 /√(3+t^2)

∵tanα=2 ,sinα= 2/√5

∴√3 /√(3+t^2) = 2/√5

t= √3 /2

即OM=√3 /2 ∴PA=√3