解题思路：（1）利用“至少有一位学生做对该题”事件的对立事件的概率即可得出；
（2）利用P（ξ=0）与P（ξ=3）的概率即可得出m，n；
（3）利用（2）及
a＝P(ξ＝1)＝P(A
.
B
.
C
)+P(
.
A
B
.
C
)+P(
.
A
.
B
C)
与b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）即可得出a，b．
设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意知，P(A)＝
1
2，P(B)＝m，P(C)＝n．
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是1−P(ξ＝0)＝1−
1
4＝
3
4．
（2）由题意知P(ξ＝0)＝P(
.
A
.
B
.
C)＝
1
2(1−m)(1−n)＝
1
4，
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝
1
2mn＝
1
24，
整理得mn=[1/12]，m+n＝
7
12．
由m＞n，解得m＝
1
3，n＝
1
4．
（3）由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A
.
B
.
C)+P(
.
AB
.
C)+P(
.
A
.
BC)=[1/2(1−m)(1−n)+
1
2m(1−n)+
1
2(1−m)n＝
11
24]，
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=[1/4]，
∴ξ的数学期望为Eξ=0×
1
4+1×
11
24+2×
1
4+3×
1
24=[13/12]．
点评：
本题考点： 离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．
考点点评： 本小题主要考查相互独立事件的概率、利用对立事件的概率求概率的方法、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识．