设u=x-t (x≥0)下面的式子是如何变形的,积分上下限是如何变形的?

1个回答

  • 设u=x-t,那么f(t)=g(x-u),g(x-t)=g(u),dt=d(x-u)= -du

    而积分上限为t=x时,u=x-x=0,下限为t=0时,u=x-0=x,

    所以

    ∫(上限x,下限0) f(t)g(x-t) dt= - ∫(上限0,下限x) f(x-u)g(u)du

    显然更换定积分的上下限符号改变,

    即 - ∫(上限0,下限x) f(x-u)g(u)du= ∫(上限x,下限0) f(x-u)g(u)du

    这时再把u代换成t,(只是改变一下函数的代号,和设u=x-t不是一回事)

    得到

    ∫(上限x,下限0) f(x-u)g(u)du = ∫(上限x,下限0) f(x-t)g(t)dt

    所以

    ∫(上限x,下限0) f(t)g(x-t) dt= - ∫(上限0,下限x) f(x-u)g(u)du =∫(上限x,下限0) f(x-t)g(t)dt