Question

已知函数f（x）=log a x，g（x）=log a （2x+m-2），其中x∈[1，2]，a＞0且a≠1，m∈R．

Answer 1

（I）由题意，m=4时，F（x）=f（x）+g（x）=log _ax+log _a（2x+2）= log a (2 x 2 +2x) ，

又x∈[1，2]，则2x ²+2x∈[4，12]．

而函数F（x）=f（x）+g（x）有最小值2，

∴a＞1，解得a=2；

（Ⅱ）由题意，0＜a＜1时，∵f（x）≥2g（x），

∴

1≤x≤2

2x+m-2＞0

log a x≥lo g a (2x+m-2 ) 2

⇒

1≤x≤2

m＞2-2x

x≤(2x+m-2 ) 2 ，

⇒

1≤x≤2

m＞0

4 x 2 +(4m-9)x+(m-2 ) 2 ≥0 ，

令h（x）=4x ²+（4m-9）x+（m-2） ²=4[x-（

9

8 -

m

2 ）] ²+（m-2） ²-

(9-4m ) 2

16 ，

（1）当0＜m＜

1

4 时，1＜

9

8 -

m

2 ＜

9

8 ＜2 ，

函数h（x）min=（m-2） ²-

(9-4m ) 2

16 ≥0，

解得m无解；

（2）当m≥

1

4 时，函数h（x）在x∈[1，2]上的单调递减，

则h（x） _min=h（1）=m ²-1≥0⇒m≥1．

综上，实数m的取值范围为[1，+∞）．