一元二次方程咋做

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  • 大概解法就是这样了

    一元二次方程的解法有如下几种:

    第一种:运用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次项系数为1的和二次项系数不为1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式

    例1:X^2-4X+3=0

    本题运用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解为(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1.

    例2:X^2-8X+16=0

    本题运用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解为(X-4)^2=0 可以得出X1=4 X2=4(注意:碰到此类问题,一定要写X1=X2=某个数,不能只写X=某个数,因为一元二次方程一定有两个根,两个根可以相同,也可以不同)

    例3:X^2-9=0

    本题运用因式分解法中的平方差公式,原方程分解为(X-3)(X+3)=0 ,可以得出X1=3,X2=-3.

    例4:X^2-5X=0

    本题运用因式分解法中的提取公因式法来解,原方程分解为X(X-5)=0 ,可以得出X1=0 ,X2=5

    第二种方法是配方法,比较复杂,下面举一个例来说明怎样用配方法来解一元二次方程:

    X^2+2X-3=0

    第一步:先在X^2+2X后加一项常数项,使之能成为一项完全平方式,那么根据题目,我们可以得知应该加一个1这样就变成了(X+1)^2.

    第二步:原式是X^2+2X-3,而(X+1)^2=X^2+2X+1,两个葵花子对比之后发现要在常数项后面减去4,才会等于原式,所以最后用配方法后得到的式子为(X+1)^2-4=0,最后可解方程.

    还有一种方法就是开平方法,例如:X^2=121,那么X1=11,X2=-11.

    最后如果用了上面所有的方法都无法解方程,那就只能像楼上所说的用求根公式了.

    定理就是韦达定理,还有根的判别式,韦达定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)二根之和就是-b/a,两根之积就是c/a

    举例:X^2-4X+3=0 两根之和就是-(-4/1)=4,两根之积就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正确).

    因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让

    两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个

    根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

    例4.用因式分解法解下列方程:

    (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

    (3) 6x2+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)

    (1)(x+3)(x-6)=-8 化简整理得

    x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)

    (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)

    ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)

    ∴x1=5,x2=-2是原方程的解.

    (2)2x2+3x=0

    x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)

    ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)

    ∴x1=0,x2=-是原方程的解.

    注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解.

    (3)6x2+5x-50=0

    (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)

    ∴2x-5=0或3x+10=0

    ∴x1=, x2=- 是原方程的解.

    (4)x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 •2 ,∴此题可用因式分解法)

    (x-2)(x-2 )=0

    ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解.

    小结:

    一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般

    形式,同时应使二次项系数化为正数.

    直接开平方法是最基本的方法.

    公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式

    法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程

    是否有解.

    配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

    解一元二次方程.但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方

    法之一,一定要掌握好.(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法).

    例5.用适当的方法解下列方程.(选学)

    (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

    (3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

    分析:(1)首先应观察题目有无特点,不要盲目地先做乘法运算.观察后发现,方程左边可用平方差

    公式分解因式,化成两个一次因式的乘积.

    (2)可用十字相乘法将方程左边因式分解.

    (3)化成一般形式后利用公式法解.

    (4)把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然后可利用十字相乘法因式分解.

    (1)4(x+2)2-9(x-3)2=0

    [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

    (5x-5)(-x+13)=0

    5x-5=0或-x+13=0

    ∴x1=1,x2=13

    (2) x2+(2- )x+ -3=0

    [x-(-3)](x-1)=0

    x-(-3)=0或x-1=0

    ∴x1=-3,x2=1

    (3)x2-2 x=-

    x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

    △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

    ∴x=

    ∴x1=,x2=

    (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

    4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

    [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

    2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

    ∴x1= ,x2=

    例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根. (选学)

    分析:此方程如果先做乘方,乘法,合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐,仔细观察题目,我

    们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体,则方程左边可用十字相乘法分解因式(实际上是运用换元的方

    法)

    [3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

    即 (5x-5)(2x-3)=0

    ∴5(x-1)(2x-3)=0

    (x-1)(2x-3)=0

    ∴x-1=0或2x-3=0

    ∴x1=1,x2=是原方程的解.

    例7.用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0

    x2+px+q=0可变形为

    x2+px=-q (常数项移到方程右边)

    x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方)

    (x+)2= (配方)

    当p2-4q≥0时,≥0(必须对p2-4q进行分类讨论)

    ∴x=- ±=

    ∴x1= ,x2=

    当p2-4q