Question

数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=n+2/n Sn(n=1,2,3,...)

Answer 1

第一问：

假设数列｛Sn/n｝是等比数列,则有：

Sn/n=（s1/1)*q^(n-1)

=a1*q^(n-1)

=q^(n-1)

代入an+1=n+2Sn/n可得到：

an+1=n+nq^(n-1).（1）

只要求的q为定值,第一问就得到证明.

由等式an+1=n+2Sn/n,可到a2=3,a3=6...(2)

由（1）可得到a3=2+2q.(3)

(2)、(3)可求得q=2,为定值得证.

第二问：

从第一问中,我们得到：sn=n*2^(n-1);

则有：sn-1=(n-1)*2^(n-2)

sn+1=(n+1)*2^n.(4)

根据数列公式：an=sn-sn-1=n*2^(n-1)-(n-1)*2^(n-2)

=2^(n-2)*[n*2-(n-1)]

=2^(n-2)*(n+1)

所以要证明的等式右边=4an=2^n*(n+1)=(4)=左边,得证.