Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．

Answer 1

（1）证明：连接OD；

∵AO=BO，BE=CE，

∴OE ∥ AC．

∴∠BOE=∠A，∠EOD=∠ODA．

又∵OD=OA，

∴∠A=∠ODA，

∴∠EOD=∠EOB．

又∵OD=OB，OE=OE，

∴△DOE≌△BOE，

∴∠ODE=∠B=90°．

即DE是⊙O的切线．

（2）由（1）得，OE ∥ AC，且OE=

1

2 AC；

∵四边形AOED为平行四边形，

∴OE=AD=CD，

∴四边形OECD为平行四边形，

∴∠C=∠DOE．

又∵∠A=∠DOE且∠B=90°，

∴∠A=∠C=45°．