Question

设数列｛an｝的各项都是正数,且对任意n属于N+,都有an(an+1)=2(a1+a3+.+an).

Answer 1

1.a[1]=1,a[2]=2,a[3]=3

猜测a[n]=n

当n=1时,a[n]=a[1]=1

假设当n=k-1(k≥2)时成立,即a[k-1]=k-1

则2a[k]=2S[k]-2S[k-1]=a[k](a[k]+1)-a[k-1](a[k-1]+1)=a²[k]+a[k]-a²[k-1]-a[k-1]

即a²[k]-a[k]=a²[k-1]+a[k-1]=(k-1)²+(k-1)=(k-1)(k-1+1)=k(k-1)=k²-k

∴a²[k]-a[k]+1/4=k²-k+1/4,即(a[k]-1/2)²=(k-1/2)²

∴a[k]=1/2±(k-1/2)

即a[k]=k或者a[k]=1-k

∵k≥2,则1-k0

∴(-1)^(n-1)*λ