解题思路：首先根据等腰三角形有两边相等，分别讨论如果4x-2=x+1，4x-2=15-6x，15-6x=x+1时的情况，注意检验是否能组成三角形．
∵等腰三角形三边的长分别是4x-2，x+1，15-6x，
∴①如果4x-2=x+1，则x=1，三边为：2，2，9；
2+2＜9，不能组成三角形，舍去；
②如果4x-2=15-6x，则x=1.7，三边为：4.8，2.7，4.8，
∴周长为12.3；
③如果15-6x=x+1，则x=2，三边为：6，3，3；
3+3=6，不能组成三角形，舍去；
∴它的周长是 12.3．
故答案为：12.3．
点评：
本题考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
考点点评： 此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．解此题注意分类讨论思想的应用．