解题思路：（Ⅰ）由f（-x）+f（x）=0，求得 c=0，即
f(x)=
a
x
2
+1
bx
．再由f（1）=2、f（2）＜3，a∈N，求得a，b，的值，从而得到a，b，c的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
f(x)=
x
2
+1
x
=x+
1
x
，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．设x1＜x2≤-1，则由f（x1）-f（x2）=
(
x
1
-
x
2
)(1-
1
x
1
x
2
)
＜0，从而得到 f（x）
在（-∞，-1]上单调递增．
（Ⅰ）由f（x）=
ax2+1
bx+c是奇函数得：f（-x）+f（x）=0，∴
ax2+1
bx+c+
ax2+1
-bx+c=0，∴(ax2+1)
2c
(bx+c)(-bx+C)=0，
解得 c=0，即f(x)=
ax2+1
bx．
又f（1）=2，∴2=
a+1
b， 2b=a+1．
又 f（2）＜3，可得[4a+1/2b＜3，
4a+1
a+1＜3，∴-1＜a＜2，
∵a∈N，∴a=0或1．
若a=0，则b=
1
2∉N（舍去），∴a=b=1，c=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=
x2+1
x=x+
1
x]，f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
下用定义证明：设x1＜x2≤-1，则：f（x1）-f（x2）=x1+
1
x1-(x2+
1
x2)=x1-x2+
x2-x1
x1x2=(x1-x2)(1-
1
x1x2)，
因为x1＜x2≤-1，x1-x2＜0，1-
1
x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，故f（x）在（-∞，-1]上单调递增．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题主要考查函数的奇偶性的应用，用函数的单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题．