Question

已知函数 f(x)=mx- m-1 x -lnx(m∈R)，g(x)= 1 x +lnx ．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，x＞0，g′（x）=

x-1

x 2 ，

∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，

所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故g（x） _极小值=g（1）=1．…（4分）

（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）= mx-

m

x -2lnx ，

∴y′=

m x 2 -2x+m

x 2 ，

由于f（x）-g（x）在[1，+∞）内为单调增函数，

所以mx ²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥

2x

1+ x 2 在[1，+∞）上恒成立，

∵（

2x

1+ x 2 ） _max=1，

∴m的取值范围是[1，+∞）． …（8分）

（III）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）．

当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞

2e+2xlnx

x 2 -1 ，令G（x）=

2e+2xlnx

x 2 -1 ，

则G′（x）=

(-2 x 2 -2)lnx+(2 x 2 -4ex-2)

( x 2 -1 ) 2 ＜0，

所以G（x）在（1，e]上递减，G（x） _min=G（e）=

4e

e 2 -1 ．

综上，要在[1，e]上存在一个x ₀，使得f（x ₀）-g（x ₀）＞h（x ₀）成立，必须且只需m＞

4e

e 2 -1 ．