Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(2+x)=-f(x),证明：

Answer 1

将x=x-1代入f(2+x)=-f(x)

=>f(1+x)=f(2+x-1)=-f(x-1)=-f(1-x)

=>f(x)的图像关于点（1,0）对称.

f(2+x)=-f(x)

=> f(2-x)=-f(-x)=-f(x)=f(2+x)

=>f(x)的图像关于直线x=2对称.

f(2-1)=-f(-1)=-f(1)=f(1) =>f(3)=0

f(2+1)=f(2-1)=f(1) =>f(1)=0

=>方程f(x)=0在[0,4]上至少两个根x=1和x=3.