（1）BD=t．
（2）∵PD∥BC，∴
=
，
∵AC=15，BC=10，CP=t，
∴PD=10﹣
t，
∵△ADP∽△BDQ，
∴
=
，
∴
=
，
解得：t=4，t=15（舍去），
答：t=4时，△ADP与△BDQ相似．
（3）存在，理由是：假设存在S △BDQ：S △ADP：S 梯形CPDQ=1：4：4，即
=
=
，∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，相似比是
，
∴
=
，设四边形CPDQ的边CQ上的高是h，则△BDQ的边BQ上的高是h，△ABC的边BC上的高是3h，
∴
BQ×h=
×
BC×3h，（10﹣t）=
×3×10，
∴t=
，
∵AP=a﹣t=a﹣
，AC=a，
∴
=
，代入解得：a=20，
答：存在某个a的值，使P、Q在运动过程中，存在S △BDQ：S △ADP：S 梯形CPDQ=1：4：4的时刻，a的值是20．