解题思路:(1)把a=[1/2]代入函数f(x),再对其进行求导,从而求出函数f(x)的极值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,可以对其进行求导,将问题转化为f′(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,从而求解;
(1)a=[1/2],函数f(x)=ln(2ax+1)+
x3
3−x2−2ax(a∈R).
∴f(x)=ln(x+1)+
x3
3-x2-x,
∴f′(x)=[1/x+1]+x2-2x-1,可以得f′(x)=0,可得
x(x2-x-3)=0,解得x=0,x1=
1+
13
2,x2=
1−
13
2,
∴函数f(x)有两个极小值点:x1=
1+
13
2,x2=
1−
13
2,
函数f(x)有一个极小值点:x=0;
(2)y=f(x)在[3,+∞)上为增函数,
可以令f′(x)=[2a/2ax+1]+x2-2x-2a≥0在x≥3上恒大于0,
∴f′(x)=[−2a×2a
(2ax+1)2+2x−2=
−4a2+2(x−1)(2ax+1)2
(2ax+1)2,
∴当x≥3时,可得f″(x)>0,
f′(x)在[3,+∞)上是增函数,
∴f′(x)≥f′(3)≥0,
∴
2a/6a+1]+9-6-2a≥0,
解得,
3−
13
4≤a≤
3+
13
4;
又由2ax+1>0且x≥3,可得a≥0,
故a的取值范围是0≤a≤
3+
13
4.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的极值;函数的单调性与导数的关系.
考点点评: 本题主要考查函数的极值与导数的关系,以及利用导数求函数的单调性,综合性比较强;