Question

已知动圆M与⊙O1：x2+（y-1）2=1和⊙O2：x2+（y+1）2=4都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．

Answer 1

解题思路：设动圆的半径为r，然后根据动圆M与⊙O₁：x²+（y-1）²=1和⊙O₂：x²+（y+1）²=4都外切，得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．

设动圆的半径为r，

而圆x²+（y-1）²=1的圆心为O₁（0，1），半径为1；

圆x²+（y+1）²=4的圆心为O₂（0，-1），半径为2．

依题意得|MO₂|=2+r，|MO₁|=1+r，

则|MO₂|-|MO₁|=（2+r）-（1+r）=1＜|O₁O₂|，

所以点M的轨迹是以O₁、O₂为焦点的双曲线的上支，且2a=1，c=1，

∴a=[1/2]，b=

3

2，

∴动圆圆心M的轨迹方程是

y2

1

4−

x2

3

4＝1（y≥[1/2]）．

点评：

本题考点： 轨迹方程．

考点点评： 本题以两圆的位置关系为载体，考查双曲线的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是双曲线是关键．