用均值不等式. 考虑以下n个正实数:a^n, 1, 1,..., 1, 即1个a^n与n-1个1.
这n个正实数的算术平均为(a^n+1+...+1)/n = (a^n+n-1)/n.
而这n个正实数的几何平均为(a^n·1·1·...·1)^(1/n) = a.
由均值不等式, 算术平均 ≥ 几何平均.
即有(a^n+n-1)/n ≥ a, 也即a^n ≥ na-(n-1).等号成立当且仅当a = 1.
用均值不等式. 考虑以下n个正实数:a^n, 1, 1,..., 1, 即1个a^n与n-1个1.
这n个正实数的算术平均为(a^n+1+...+1)/n = (a^n+n-1)/n.
而这n个正实数的几何平均为(a^n·1·1·...·1)^(1/n) = a.
由均值不等式, 算术平均 ≥ 几何平均.
即有(a^n+n-1)/n ≥ a, 也即a^n ≥ na-(n-1).等号成立当且仅当a = 1.