不知你这是高中题还是大学题?
如果是大学题,可以用下面的方法最简单
1.等价于证明f(x)是凹函数
f'(x)=2x-2/x^2+a/x
f''(x)=2+4/x^3-a/x^2
当a≤0时,f''(x)>0,所以f(x)是凹函数
2.|f'(x1)-f'(x2)|>|x1-x2|
用拉格朗日中值定理,等价与证明
|f''(ξ)|0,即|f''(x)|1
所以|g'(x)|>1
如果是高中题,由于害怕某些老师抽风,不推荐使用中值定理,所以要麻烦得多.
下面是高中解法
1.[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]
由于x1、x2地位对等所以就设00
所以f(x1)+f(x2)-2f[(x1+x2)/2]>0
所以[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]
2.g(x)=f'(x)=2x-2/x²+a/x
设0x1^3+4-ax1
(1)a≤0,x1^3+4-ax1>0显然成立
(2)a>0,构造函数h(x)=x^3-ax+4
h'(x)=3x²-a
所以极限值,也是最小值x=√(a/3)时取得
h(x)min=h(√(a/3))=-2/3*√(a^3/3)+4
由于a≤4,所以-2/3*√(a^3/3)+4>0
所以h(x)>0,即h(x1)=x1^3+4-ax1>0
故x1^3+4-ax1>0恒成立
所以2tx1^3+2(1+t)-ax1-x1^3t>x1^3+4-ax1>0
tx1^3+2(1+t)-ax1>tx1^3>0
取绝对值|tx1^3+2(1+t)-ax1|>|tx1^3>|
所以|tx1^3+2(1+t)-ax1|/|tx1^3>|>1
所以|g(x1)-g(x2)|/|x1-x2|>1
所以|g(x1)-g(x2)|>|x1-x2|