Question

三角形ABC中过点C做CD垂直AB,问(AC+BC)^2和AB^2+4CD^2之间的大小关系

Answer 1

(AC+BC)^2-(AB^2+4CD^2)

=AC^2+BC^2+2AC*BC-(AD+BD)^2-4CD^2

=(AC^2-CD^2-AD^2)+(BC^2-CD^2-BD^2)+2(AC*BC-AD*BD-CD^2)

=0+0+2(AC*BC-AD*BD-CD^2)

=2(AC*BC-AD*BD-CD^2)

AC^2=CD^2+AD^2,BC^2=CD^2+BD^2

(AD*BD+CD^2)^2=AD^2*BD^2+CD^4+2AD*BD*CD^2

(AC*BC)^2=CD^4+CD^2*AD^2+CD^2*BD^2+AD^2*BD^2

(AC*BC)^2-(AD*BD+CD^2)^2=CD^2(BD^2+AD^2-2AD*BD)

=CD^2(BD-AD)^2>=0

(AC*BC)^2>=(AD*BD+CD^2)^2

AC*BC>=AD*BD+CD^2

AC*BC-AD*BD-CD^2>=0

(AC+BC)^2-(AB^2+4CD^2)=2(AC*BC-AD*BD-CD^2)>=0

(AC+BC)^2>=(AB^2+4CD^2)