Question

（2003•厦门）如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．

Answer 1

（I）设数列{a_n}的公差为d，由已知得

a1+2d＝5

(2a1+d)(a1+3d)＝28…（2分）

∴（5+d）（10-3d）=28，

∴3d²+5d-22=0，

解之得d=2或d＝−

11

3．

∵数列{a_n}各项均正，∴d=2，∴a₁=1．

∴a_n=2n-1．…（5分）

证明：（Ⅱ）∵n∈N，

∴只需证明(1+

1

a1)(1+

1

a2)…(1+

1

an)≥

2

3

3

2n+1成立．…（7分）

（i）当n=1时，左=2，右=2，∴不等式成立．…（8分）

（ii）假设当n=k时不等式成立，即(1+

1

a1)(1+

1

a2)…(1+

1

ak)≥

2

3

3

2k+1．

那么当n=k+1时，(1+

1

a1)(1+

1

a2)…(1+

1

ak)(1+

1

ak+1)≥

2

3

3

2k+1(1+

1

ak+1)＝

2

3

3

2k+2

2k+1…（10分）

以下只需证明

2

3

3

2k+2

2k+1≥

2

3

3•

2k+3．

即只需证明2k+2≥

2k+1

2k+3．…（11分）

∵(2k+2)2−(

2k+1•

2k+3)2＝1＞0．

∴(1+

1

a1)(1+

1

a2)…(1+