Question

如图，以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，点F为BC上一点，AF交⊙O于点E，且∠C=∠BAF．

Answer 1

解题思路：（1）连DB，根据AB为直径可知DB⊥AC，由于△ABC为直角三角形，所以∠C=∠ABD=∠DEA，再根据∠C=∠BAF可知∠BAF=∠DEA，故可得出结论；

（2）连BE，由（1）知DE∥AB，故可得出AD=BE，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABD≌Rt△BAE，所以BD=AE=2AD，设AD=x，则BD=2x，在Rt△ABD中根据勾股定理可求出AD，BD的长，过D作DM⊥AB，过O作ON⊥ED，由[1/2]AD•BD=[1/2]AB•DM可得出DM的长，连OD，在Rt△OND中，由勾股定理可求出DN的长，由ED=2DN即可得出结论．

（1）证明：如图1，连DB，

∵AB为直径，

∴DB⊥AC，

∵△ABC为直角三角形，

∴∠C=∠ABD=∠DEA，

又∵∠C=∠BAF，

∴∠BAF=∠DEA，

∴DE∥AB；

（2）连BE，

∵DE∥AB，

∴∠BAE=∠AED，

∴AD=BE，

在Rt△ABD与Rt△BAE中，

∵

AB＝BA

AD＝BE，

∴Rt△ABD≌Rt△BAE（HL），

∴BD=AE=2AD，

设AD=x，则BD=2x，

在Rt△ABD中，x²+（2x）²=10²，

∴AD=2

5，BD=4

5

过D作DM⊥AB，过O作ON⊥ED，

∴[1/2]AD•BD=[1/2]AB•DM，

∴DM=[AD•BD/AB]=

2

5•4

5

10=4=ON，

连OD，在Rt△OND中，

∵DN=

点评：

本题考点： 圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

考点点评： 本题考查的是圆周角角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．