已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+1= - 知识问答

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+1=4an+2，（n∈N*），a1=2，

1个回答

解题思路：（1）由S_n+1=4a_n+2，得a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）（n≥2），由此能求出λ=2．
（2）由已知得b_n=a_n+1-2a_n=4•2^n-1，将a_n+1-2a_n=4•2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹，得
a
n+1
2
n+1
−
a
n
2
n
=4•2^-2=1，由此能求出c_n=n．
（3）由
c
n
＝
a
n
2
n
=n，得
a
n
＝n•
2
n
，从而d_n=
2
n
n
−
2
n+1
n+1
，由此能求出
T
n
＝2−
2
n+1
n+1
．
（1）由S_n+1=4a_n+2，得a_n+1=S_n+1-S_n=（4a_n+2）-（4a_n-1+2）（n≥2）
∴a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2（a_n-2a_n-1）
故数列{a_n+1-2a_n} 是以a₂-2a₁为首项，2为公比的等比数列，
∵b_n=a_n+1-λa_n，数列{b_n}为等比数列，
∴λ=2．
（2）由a₁=2，a₁+a₂=S₂=4a₁+2，
∴a₂=8，
∴b_n=a_n+1-2a_n=4•2^n-1，
将a_n+1-2a_n=4•2^n-1两边同除以2ⁿ⁺¹，
得
an+1
2n+1−
an
2n=4•2^-2=1，即c_n+1-c_n=1，
故{c_n}是以c₁=
a1
2=1为首项，1为公差的等差数列，
∴c_n=n．
（3）∵cn＝
an
2n=n，∴an＝n•2n，
∴d_n=（[1
2log2
an/n]-[1
log2
an+1/n+1]）•2ⁿ⁺¹
=（[1/2n−
1
n+1]）•2ⁿ⁺¹
=
2n
n−
2n+1
n+1，
∴T_n=2-
22
2+
22
2−
23
3+…+
2n
n−
2n+1
n+1
=2-
2n+1
n+1．
∴Tn＝2−
2n+1
点评：
本题考点：数列的求和；数列递推式．
考点点评：本题考查实数值的求法，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．

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