（1）BM=AN+MN
证明：连接BO,CO分别与AC,AB相交于点E,F,在BF上截取FG=NE
因为点O是等边三角形ABC的两边AB,AC的垂直平分线的交点
所以AF=AE=BF
因为AE=AN+NE
角OFG=角OEN=90度
角COE=60度
OF1/3CF
OE=1/3BE
CF=BE
所以OF=OE
所以直角三角形OFG和直角三角形OEN全等（SAS)
所以OG=ON
角FOG=角EON
因为角MOF+角MON+角NOF+角COE=180度
因为角MON=60度
所以角MOF+角FOG=角MOG=60度
所以角MOG=角MON=60度
因为OM=OM
所以三角形MOG和三角形MON全等（SAS)
所以MN=MG=MF+FG
因为BM=BF+FM
所以BM=AE+FM=AN+NE+FM=AN+FG+FM
所以BM=AN+MN
(2)MN=AN+BM
证明：延长AB,使BE=AN,延长BO与AC相交于点F,连接OA,OE
因为点O是等边三角形ABC的两边AB,AC的交点
所以角AOF=60度
角OCN=角OAE=1/2角BAC=30度
OA=OC OA=OB
AB=AC
因为CN=AC+AN
AE=AB+BE
所以CN=AE
所以三角形OCN和三角形OAE全等（SAS)
所以ON=OE
因为AN=BE
OB=OA
所以三角形OBE和三角形OAN全等（SSS)
所以角BOE=角AON
因为角MOB+角MON+角AON+角AOF=180度
因为角MON=60度
所以角MOB+角BOE=角MOE=180-60-60=60度
所以角MON=角BOE-60度
因为ON=OE
OM=OM
所以三角形OMN和三角形OME全等（SAS)
所以MN=ME
因为ME=BM+BE
所以MN=BM+AN
角