Question

对于n元方程组，下列命题正确的是（　　）A．如果Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解B．如果Ax=0有非零解，则A

Answer 1

AX=0只有零解的充要条件是r（A）=n（A列满秩）．

而r（A）与r（A，b）不一定相同．

故AX=b也有可能无解，

事实上，可以令A=

100

010

001

001．b=

1

1

1

2．

易知AX=0只有零解，而AX=b最后两个方程分别为X₁=1与X₂=2，是互相矛盾的，

易知该线性方程组无解，可知A错误．

类似的，AX=0有非零解的充要条件r（A）＜n，

而r（A）＜n时，r（A）与r（A，b）不一定相同，

故AX=b也有可能无解．

事实上，可令A=

123

246，b=

2

5．

易知r（A）=1，故AX=0有非零解，

有r（A，b）=2≠r（A）．

故AX=b无解，故B错误．

如果AX=b有两个不同解，可知r（A）＜n，故AX=0有无穷解，故C正确．

由A的分析过程知，选项D是错的．

故选：C．