Question

设函数f(x)=(x-a)^2lnx,a属于R(1)若x=e为y=f(x)的极值点,求a （2）求实数a的取值范围,使得

Answer 1

（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+ =（x-a）（2lnx+1- ）,

因为x=e是f（x）的极值点,

所以f′（e）=0

解得a=e或a=3e．

经检验,符合题意,

所以a=e,或a=3e

（II）①当0＜3a≤1时,对于任意的实数x∈（0,3a],恒有f（x）≤0＜4e2成立,即0＜a≤ 1/3符合题意

②当3a＞1时即a＞ 1/3 时,由①知,x∈（0,1]时,不等式恒成立,故下研究函数在（1,3a]上的最大值,

首先有f（3a）=（3a-a）2ln3a=4a2ln3a此值随着a的增大而增大,故应有

4a2ln3a≤4e2即a2ln3a≤e2,

故参数的取值范围是0＜a≤ 1/3或a＞ 1/3 且a2ln3a≤e2,